Question

（本题满分13分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将B

（本题满分13分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM. ⑴ 求证：△AMB≌△ENB；⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为 时，求正方形的边长.

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Answer 1

（1）△AMB≌△ENB，证明略。 （2） ①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小. ②连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时， AM＋BM＋CM的值最小，图略 （3）

（满分13分）解：⑴∵△ABE是等边三角形， ∴BA＝BE，∠ABE＝60°. ∵∠MBN＝60°， ∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN. 即∠BMA＝∠NBE. 又∵MB＝NB， ∴△AMB≌△ENB（SAS）. ………………5分 ⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.………………7分 ②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时， AM＋BM＋CM的值最小. ………………9分 理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB， ∴AM＝EN. ∵∠MBN＝60°，MB＝NB， ∴△BMN是等边三角形. ∴BM＝MN. ∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM. ………………10分 根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短 ∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.……11分 ⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， ∴∠EBF＝90°－60°＝30°. 设正方形的边长为x，则BF＝ x，EF＝ . 在Rt△EFC中， ∵EF 2 ＋FC 2 ＝EC 2 ， ∴（ ） 2 ＋（ x＋x） 2 ＝ . ………………12分 解得，x＝ （舍去负值）. ∴正方形的边长为 .………………13分