Question

一道高中数学导数题

设函数f(x)=ln（x+1）+a1/ex-a(a倍的e的-x方-a),a属于R
求：若x≥0，f(x)≥0，求a的取值范围

Answer 1

f(0)=0
所以函数f(x)在(0,+∞)上单调增
f '(x)=1/(x+1)-ae^(-x)
令 f '(x)>0 ==>
a<e^x/(x+1) 在（0，+∞）上恒成立，
先求右边的最小值，
函数 e^x/(x+1)
(e^x/(x+1))'=[(e^x)*x]/(x+1)^2>0单调增，所以函数e^x/(x+1)的最小值为e^0/(0+1)=1/2
恒小就是左边的a比右边的最小值还要小
所以a≤1/2

Answer 2

求导，f'(x)=1/(1+x)+a*e^(-x)/[(e^(-x)-a)^2]
x>=0时f'(x)>0
函数在x>=0时单增
若f(x)>=0,f(0)>=0即可
f(0)=a/(1-a)>=0
0<=a<=1

Answer 3

对上式子求导数，fx导数=x+1-axe^(-x-1)=x+1-ax/e^(x+1)≥0解出来a≤e^(x+1）*（1+1/x），我们可以看出来Y=e^(x+1)是增函数，Y=1+1/x在区间【0，+无穷大】是减函数，所以Y=e^(x+1)*(1+1/x)是减函数，且Y值>0，可以得出来a≤0
不知道这么做对还是做，好久没接触导数了

Answer 4

整体看

Answer 5

ln(x+1)<=a-a/e^x
ln(x+1)<=a(1-1/e^x)
x>0;e^x>1;1-1/e^x<0;
故：a<=ln(x+1)/(1-1/e^x)即可；