Question

设数列{an}前n项和Sn,且a1=1,Sn=4a(n-1)+2(n≥2)

(1)设bn=a(n+1)-2an,求证{bn}是等比数列
(2)设cn=an／2^n,求证{cn}是等差数列
注：n+1，n-1为下标。

Answer 1

1、a1=1,Sn=4a(n-1)+2
S(n-1)=4a(n-2)+2
an=4[a(n-1)-a(n-2)]
an-2a(n-1)=2*[a(n-1)-2a(n-2)]
[an-2a(n-1)]/[a(n-1)-2a(n-2)]=2
所以bn/b(n-1)=[a（n+1）-2an]/[an-2a(n-1)]=2
{bn}是等比数列
2、cn=an／2^n
cn-c(n-1)=an／2^n-a(n-1)／2^(n-1)=an-2a(n-1)/2^n
因为：[an-2a(n-1)]/[a(n-1)-2a(n-2)]=2
所以：b(n-1)=an-2a(n-1)=b1*2^(n-2)
b1=a2-2a1=5-2=3
所以： cn-c(n-1)=an／2^n-a(n-1)／2^(n-1)=an-2a(n-1)/2^n=3*2^(n-2)/2^n=3/4
所以：
{cn}是等差数列

Answer 2

利用递推公式an= sn-sn-1，n≥2s1，n=1

可把已知转化为an+1=4an-2an-1，从而有bn
bn-1
=an+1-2an
an-2an-1
=2，从而可得数列{bn}为等比数列
Sn+1=Sn+an+1=4an-1+2+an+1
∴4an+2=4an-1+2+an+1
∴an+1-2an=2（an-2an-1）
即：bn bn-1 =an+1-2an an-2an-1 =2 (n≥2)且b1=a2-2a1=3
∴{bn}是等比数列
登陆箐优网能找到的

Answer 3

Sn=4a(n-1)+2
S（n+1）=4an +2
a(n+1)=4an-4a(n-1)
a(n+1)-2an=2an-4a(n-1)
bn=2b(n-1)

bn/2^(n+1)=a(n+1)／2^(n+1)-an／2^n
c(n+1)-cn=bn/2^(n+1)
由第一题可速得bn的通项公式 bn=2^(n-1)