Question

已知数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S =an(Sn- ).（1）证明： 是等差数列，求Sn的表达式

已知数列{an}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S =an(Sn- ).（1）证明： 是等差数列，求Sn的表达式；（2）设bn= ，求{bn}的前n项和Tn.

Answer 1

（1）略 （2）

解 （1）∵S =an ，an=Sn-Sn-1（n≥2）， ∴S =（Sn-Sn-1） ,  2Sn-1Sn=Sn-1-Sn， ①              ---------2分   由题意Sn-1·S n≠0，①式两边同除以Sn-1·Sn ，得 - =2，------4分 ∴数列 是首项为 = =1，公差为2的等差数列. ∴ =1+2（n-1）=2n-1，                                --------5分 ∴Sn= .                                               ------6分 （2）又bn= = = ，       ---------9分                                                          ∴Tn=b1+b2+…+bn= = = ---12分