Question

已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，其左焦点F1到点P（2，1）的距离为10．（1）求椭圆的方程；

已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，其左焦点F1到点P（2，1）的距离为10．（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点F2的直线与椭圆交于不同的两点M、N，则△F1MN内切圆的圆面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵左焦点F₁到点P（2，1）的距离为

10

，
∴

(2+c)2+1

=

10

，
∴c=1，
∵离心率为

1

2

，
∴a=2，
∴b=

3

，
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

＝1；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨y₁＞0，y₂＜0，设△F₁MN的内切圆的径R，
则△F₁MN的周长=4a=8，S△F1MN=

1

2

（|MN|+|F₁M|+|F₁N|）R=4R
因此S△F1MN最大，R就最大，
由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，
代入椭圆方程得（3m²+4）y²+6my-9=0，
由根与系数的关系得y1+y2＝?

6m

3m2+4

，y1y2＝?

9

3m2+4

，
则S△F1MN=

1

2

|F₁F₂||y₁-y₂|=

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