Question

如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、C1C、C1D1、A1A的中点．求证：（1）BF∥HD1；

如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、C1C、C1D1、A1A的中点．求证：（1）BF∥HD1；（2）EG∥平面BB1D1D；（3）平面BDF∥平面B1D1H．

Answer 1

证明：（1）取BB₁的中点M，连接HM、MC₁，四边则HMC₁D₁是平行四边形，
∴HD₁∥MC₁．
又∵MC₁∥BF，∴BF∥HD₁．
（2）取BD的中点O，连接EO、D₁O，则OE∥DC，OE=

1

2

DC．
又D₁G∥DC，D₁G=

1

2

DC，
∴OE∥D₁G，OE=D₁G，
∴四边形OEGD₁是平行四边形，∴GE∥D₁O．
又D₁O?平面BB₁D₁D，∴EG∥平面BB₁D₁D．
（3）由（1）知D₁H∥BF，又BD∥B₁D₁，B₁D₁、HD₁?平面HB₁D₁，BF、BD?平面BDF，且B₁D₁∩HD₁=D₁，DB∩BF=B，∴平面BDF∥平面B₁D₁H．