（2014?揭阳二模）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，且∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA1=6
（2014?揭阳二模）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，且∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA1=6，点P、M、N分别为BC1、CC1、...
（2014?揭阳二模）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，且∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA1=6，点P、M、N分别为BC1、CC1、AB1的中点．（1）求证：PN∥平面ABC；（2）求证：A1M⊥AB1C1；（3）求点M到平面AA1B1的距离．
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（1）证明：连结CB1，∵P是BC1的中点，∴CB1过点P，--（1分）
∵N为AB1的中点，∴PN∥AC，---------------------------（2分）
∵AC?面ABC，PN?面ABC，
∴PN∥平面ABC．--------------------------------------（4分）
（2）证法一：连结AC1，在直角△ABC中，
∵BC=1，∠BAC=30°，
∴AC=A1C1=
| 3 |
∵
| CC1 |
| A1C1 |
| A1C1 |
| MC1 |
| 2 |
∴Rt△A1C1M～Rt△C1CA--------------------------------------------------------（7分）
∴∠A1MC1=∠CAC1，∴∠AC1C+∠CAC1=∠AC1C+∠A1MC1=90°
∴AC1⊥A1M．-------------------------------------------------------------------（8分）
∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，且C1A1∩CC1=C1
∴B1C1⊥平面AA1CC1，-----------------------------------------------------------（9分）
∴B1C1⊥A1M，又AC1∩B1C1=C1，故A1M⊥平面A B1C1，-------------------------（11分）
证法二：连结AC1，在直角△ABC中，∵BC=1，∠BAC=30°，
∴AC=A1C1=
| 3 |
设∠AC1A1=α，∠MA1C1=β
∵tanαtanβ＝
| AA1 |
| A1C1 |
| MC1 |
| A1C1 |
| ||
|
