Question

已知二次函数y=x2+2mx-m+1（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该二次函数图象的顶点P都在函数y=-x2+x+

已知二次函数y=x2+2mx-m+1（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该二次函数图象的顶点P都在函数y=-x2+x+1的图象上；（2）若顶点P的横、纵坐标相等，求P点坐标．

Answer 1

（1）证明：y=x²+2mx-m+1=（x+m）²-m²-m+1．
则顶点P的坐标为 （-m，-m²-m+1）．
当x=-m时，y=-（-m）²+（-m）+1=-m²-m+1．
故不论m为何值，该二次函数图象的顶点P都在函数y=-x²+x+1的图象上．
（用顶点坐标公式求出顶点坐标参照给分）
（2）解：根据题意得：-m=-m²-m+1．
解得：m=±1．
故点P的坐标为 （1，-1）或 （-1，-1）．