Question

已知f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数，（Ⅰ）若f（x）=2f′（x），求1+sin2xcos2x?sinxcosx

已知f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数，（Ⅰ）若f（x）=2f′（x），求1+sin2xcos2x?sinxcosx的值；（Ⅱ）若x∈[0，2π]，求g（x）=f(x)?f′(x)4+f(x)+f′(x)的单调递增区间．

Answer 1

由 f（x）=sinx+cosx知  f'（x）=cosx-sinx
（Ⅰ）由f（x）=2f'（x）得3sinx=cosx，有

1+sin2x

cos2x?sinxcosx

＝

cos2x+2sin2x

cos2x?sinxcosx

＝

9sin2x+2sin2x

9sin2x?3sinxsinx

＝

11

6

．
（Ⅱ）由x∈[0，2π]，g(x)＝

f(x)?f′(x)

4+f(x)+f′(x)

＝

2sinx

4+2cosx

＝

sinx

2+cosx

，
g′（x）=

2(cosx+ 1 2 )

(2+cosx)2

．
当0≤x＜

2π

3

或

4π

3

＜x≤2π时，cosx＞?

1

2

，
即f'（x）＞0；
因此g（x）的单调递增区间为[0，

2π

3

)，(

4π

3

，2π]．