Question

某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩共分五组，得到频率分布表如下

某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩共分五组，得到频率分布表如下表所示． 组号 分组 频数 频率 第一组 [160，165） 5 0.05 第二组 [165，170） 35 0.35 第三组 [170，175） 30 ① 第四组 [175，180） ② 0.2 第五组 [180，185） 10 0.1（Ⅰ）请求出①②位置相应的数字，填在答题卡相应位置上，并补全频率分布直方图；（Ⅱ）现决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12人进入第二轮面试，求第3、4、5组中每组各抽取多少人进入第二轮的面试；（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在12人中随机抽取3人接受“王教授”的面试，设第4组中被抽取参加“王教授”面试的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

（Ⅰ）解：由题意知，第3组的频率为

30

100

=0.3，
即①位置相应的数字为0.3； 
第4组的频数为0.2×100=20人，
即②位置相应的数字为20． 
频率分布直方图如右图所示．
（Ⅱ）因为第3、4、5组共有30+20+10=60名学生，
所以利用分层抽样在60名学生中抽取12名学生，每组分别为：
第3组：

30

60

×12=6人，
第4组：

20

60

×12=4人，
第5组：

10

60

×12＝2人，
所以第3、4、5组分别抽取6人、4人、2人进入第二轮的面试．
（Ⅲ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=

C 0 4 C 3 8

C 3 12

=

14

55

，
P（ξ=1）=

C 1 4 C 2 8

C 3 12

=

28

55

，
P（ξ=2）=

C 2 4 C 1 8

C 3 12

=

12

55

，
P（ξ=3）=

C 3 4 C 0 8

C 3 12

=

1

55

，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	14 55	28 55	12 55	1 55

Eξ=0×

14

55

+1×

28

55

+2×

12

55

+3×

1

55

=1．