Question

已知数列{an}的前n项和sn＝n2+n，(n∈N+)，数列{bn}满足bn+1＝2bn?1，(n∈N+)且b1=5（1）求数列{an}{bn}

已知数列{an}的前n项和sn＝n2+n，(n∈N+)，数列{bn}满足bn+1＝2bn?1，(n∈N+)且b1=5（1）求数列{an}{bn}的通项公式．（2）设数列{cn}的前n项和Tn，且cn＝1an?log2(bn?1)，证明：Tn＜12．

Answer 1

解答：（1）解：当n=1时，a₁=S₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n，
当n=1时，2n=2=a₁，所以a_n=2n；
由b_n+1=2b_n-1，得b_n+1-1=2（b_n-1），又b₁-1=4≠0，
所以{b_n-1}是以4为首项，2为公比的等比数列．
所以b_n-1=（b₁-1）2^n-1=2ⁿ⁺¹，所以b_n=2ⁿ⁺¹+1；
（2）证明：cn＝

1

an?log2(bn?1)

=

1

2n(n+1)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

）
∴T_n=

1

2

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

1

2

（1-

1

n+1

）
∴Tn＜

1

2

．