Question

如图，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，点A在DG上，连接AE，CG．（1）求证：AE=CG；（2）猜想：AE与CG

如图，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，点A在DG上，连接AE，CG．（1）求证：AE=CG；（2）猜想：AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．（3）在其它条件不变的前提下，如果将正方形ABCD按逆时针或顺时针旋转任意角度（如图2和图3）．那么（2）中结论是否还成立？请选择其中一个说明理由．

Answer 1

解答：（1）证明：∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴CD=AD，∠CDG=∠ADE=90°，GD=ED，
∴△CDG≌△ADE（SAS），
∴AE=CG；

（2）解：AE⊥CG．
证明：延长EA交CG于H，
∵△CDG≌△ADE，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
∴∠GHE=90°，
∴AE⊥CG；

（3）答：（2）中结论仍然成立．
理由：图2，设EA与CG相交于点H，
∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴CD=AD，∠CDA=∠CDG=90°，GD=ED，
∴∠CDA+∠5=∠CDG+∠5，
即∠CDG=∠ADE，
在△CDG和△ADE中，

CD＝AD ∠CDG＝∠ADE GD＝ED

，
∴△CDG≌△ADE（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
∴∠GHE=90°，
∴AE⊥CG；
图3，延长EA交CG于点H，
∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴CD=AD，∠CDA=∠CDG=90°，GD=ED，
∴∠CDA-∠5=∠CDG-∠5，
即∠CDG=∠ADE，
在△CDG和△ADE中，

CD＝AD ∠CDG＝∠ADE GD＝ED

，
∴△CDG≌△ADE（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
∴∠GHE=90°，
∴AE⊥CG．