Question

已知正整数数列an的前n项和为sn，且对任意的正整数n满足2根号下2sn=an+2求证an是等差数列

若bn=（1/2）an-30求数列bn的前n项和的最小值

Answer 1

两边平方，得（an+2)^2/4=2Sn，两边同时除2，得Sn=（an+2)^2/8,
S_(n+1)-Sn=a_(n+1)=[（a_(n+1)+2)^2-（an+2)^2]/8,
完全平方式化成三项式后相减，化简得，（a_(n+1)-an-4）*(a_(n+1)+an)=0
由于各项均为整数，故(a_(n+1)+an)不能等于0，所以（a_(n+1)-an-4）=0，所以a_(n+1)-an=4
{an}为以4为公差的等差数列，an=a1+（n-1）*4
现在求a1，由于a1=S1，所以，（a1+2）^2/4=2*a1,求得a1=2，
所以an=a1+（n-1）*4=4n-2

bn=an/2-30=2n-31
b1=-29
Sn=(b1+bn)n/2=(-29+2n-31)n/2=n^2-30n=(n-15)^2-225
所以，当n=15时，和Sn有最小值是：-225

Answer 2

1.
2√(2Sn)=an +2
Sn=(an+2)²/8
n=1时，S1=a1=(a1+2)²/8
(a1-2)²=0
a1=2
n≥2时，
Sn=(an+1)²/8 S(n-1)=[a(n-1)+2]²/8
Sn-S(n-1)=an=(an+2)²/8 -[a(n-1)+2]²/8
(an-2)²=[a(n-1)+2]²
an-2=a(n-1)+2或an-2=-a(n-1)-2
an-a(n-1)=4或an+a(n-1)=0
数列各项均为正，an+a(n-1)>0，因此只有an-a(n-1)=4，为定值。
又a1=2，数列{an}是以2为首项，4为公差的等差数列。
2.
an=2+4(n-1)=4n-2
bn=(1/2)an -30=(4n-2)/2 -30=2n-1-30=2n-31
Tn=b1+b2+...+bn=2(1+2+...+n)-31n=n²-30n=n²-30n+225-225=(n-15)²-225
当n=15时，Tn有最小值(Tn)min=-225。