Question

已知Rt△ABC中，∠ACB=90°中，AC=2，BC=4，点D在BC边上，且∠CAD=∠B． (1) 求AD的长． (2) 取AD、AB的

已知Rt△ABC中，∠ACB=90°中，AC=2，BC=4，点D在BC边上，且∠CAD=∠B． (1) 求AD的长． (2) 取AD、AB的中点E、F，联结CE、CF、EF，求证：△CEF∽△ADB．

Answer 1

（1） （2）证明略

解：（1）∵ ∠ACB=∠DCA=90°，  ∠CAD=∠B ∴ △ACB∽△DCA   ……………………………………………………2分 ∴   ……………………………………………………………1分 ∵AC=2，CB="4     " ∴ DC="1  " …………………………………………1分 在Rt△ACD中, ,  ∴ ……………………2分[来 （2） ∵ E，F分别是AD，AB中点，  ∴ ，即 …………1分 在Rt△ACD中，E是AD中点  ∴ ,即 …………………1分 同理 ……………………………………………………………1分 ∴     ∴△CEF∽△ADB ………………………………3分

Answer 2

（1）解：∵∠B=∠CAD，∠ACB=∠DCA
∴△ABC∽△DAC
∴AC/BC=DC/AC（/是分数线）
∵AC=2，BC=4
∴2/4=DC/2，即DC=1
∵∠ACB=90°
∴勾股定理得AC²+CD²=AD²
∴AD=根号（AC²+CD²）=根号（2²+1²）=根号5
（2）证明：∵E是AD中点，F是AB的中点
∴EF是△ABD的一条中位线
∴EF∥CB（∥是平行）
∴∠CFE=∠BCF
∵∠ACB=90°，F是AB中点
∴AF=BF=CF
∴∠B=∠BCF
∴∠B=∠CFE
∵∠ACD=90°，E是AD中点
∴AE=DE=CE
∴∠CDE=∠DCE
∵∠CDE=∠BCF+∠ECF，∠DCE=∠B+∠BAD
∴∠BCF+∠ECF=∠B+∠BAD
∴∠ECF=∠BAD
∴∠FCE=∠BAD
∴△CEF∽△ADB