Question

如图，点F是椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0) 的左焦点，A、

如图，点F是椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0) 的左焦点，A、B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为 1 2 ．点C在x轴上，BC⊥BF，且B、C、F三点确定的圆M恰好与直线 x+ 3 y+3=0 相切．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过F作一条与两坐标轴都不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点，在x轴上是否存在定点N，使得NF恰好为△PNQ的内角平分线，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵ c a = 1 2 ， ∴c= 1 2 a，b= a 2 - c 2 = 3 2 a， 又F（-c，0），B（0，b），在直角三角形BFO中，tan∠BFO= |OB| |OF| = b c = 3 ， ∴∠BFO= π 3 ．|BF|=a． ∵BC⊥BF， ∴∠BCF= π 6 ， ∴|CF|=2a． ∴B、C、F三点确定的圆M的圆心M的坐标为：（ a 2 ，0），半径r=a； 又圆M与直线 x+ 3 y+3=0 相切， ∴圆心M到直线x+ 3 y+3=0的距离等于r，即 | a 2 +0+3| 2 =a，又a＞0， ∴a=2， ∴b= 3 ． ∴椭圆的方程为： x 2 4 + y 2 3 =1 ． （Ⅱ）假设在x轴上是否存在定点N，使得NF恰好为△PNQ的内角平分线， 则由角平分线的性质定理得： |PF| |FQ| = |PN| |NQ| ，又|PF|+|PN|=2a=4，|QF|+|QN|=2a=4， ∴ |PF| |FQ| = 4-|PF| 4-|FQ| ， ∴|PF|=|QF|，即F为PQ的中点， ∴PQ⊥x轴，这与已知“过F作一条与两坐标轴都不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点”矛盾， ∴假设不成立，即在x轴上不存在定点N，使得NF恰好为△PNQ的内角平分线．