Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 1 2 ，短轴长为4 3 ．（Ⅰ）求

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 1 2 ，短轴长为4 3 ．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）P（2，3），Q（2．-3）是椭圆C上两个定点，A、B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点．当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ的斜率是否为定值，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆C的方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （a＞b＞0）． 由已知b=2 3 ，离心率e= c a = 1 2 ，a 2 =b 2 +c 2 ，得a=4， 所以，椭圆C的方程为 x 2 16 + y 2 12 =1 ； （Ⅱ）设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），∠APQ=∠BPQ时，PA，PB的斜率之和为0 设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k， 则PA的直线方程为y-3=k（x-2）代入椭圆方程，可得（3+4k 2 ）x 2 +8（3-2k）kx+4（3-2k） 2 -48=0 ∴ x 1 +2= 8(2k-3)k 3+4 k 2 同理 x 2 +2= 8(2k+3)k 3+4 k 2 ∴x 1 +x 2 = 16 k 2 -12 3+4 k 2 ，x 1 -x 2 = -48k 3+4 k 2 ∴ k AB = y 1 - y 2 x 1 - x 2 = k( x 1 + x 2 )-4k x 1 - x 2 = 1 2 ∴直线AB的斜率为定值 1 2 ．