Question

已知函数f（x）=-x 2 +2bx-b（1）当b=2时，求函数y=f（x） 在[1，4]上的最值；（2）若函数y=f（x） 在[1

已知函数f（x）=-x 2 +2bx-b（1）当b=2时，求函数y=f（x） 在[1，4]上的最值；（2）若函数y=f（x） 在[1，4]上仅有一个零点，求b的取值范围；（3）是否存在实数b，使得函数y=f（x） 在[1，+∞）上的最大值是2，若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

f（x）=-x 2 +2bx-b=-（x-b） 2 -b+b 2 ，的图象开口向下，对称轴为x=b的抛物线…（1分） （1）当b=2时，f（x）=-x 2 +4x-2=-（x-2） 2 +2的图象开口向下，对称轴为x=2…（2分） ∴f（x） max =f（2）=2， f（x） min =f（4）=-2…（4分） （2）∵函数y=f（x） 在[1，4]上仅有一个零点 ∴f（1）?f（4）≤0…（6分）（须验证端点是否成立与△=0的情况） 即（-1+b）（-16+7b）≤0 ∴ 1≤b≤ 16 7 ∴b的取值范围是 [1， 16 7 ] …（7分） （3）当b＜1时，y=f（x） 在[1，+∞）上是减函数， f（x） max =f（1）=b-1=2 解得b=3，不合要求…（9分） 当b≥1时， f(x ) max =f(b)= b 2 -b=2即 b 2 -b-2=0 解得b=2或b=-1（不合，舍去）， ∴b=2…（11分） 综上所述，当b=2时，使得函数y=f（x） 在[1，+∞）上的最大值是2．…（12分）