Question

（本小题满分14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D，E分别为AB，CD的中点，AE的延长线交CB

（本小题满分14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D，E分别为AB，CD的中点，AE的延长线交CB于F。现将△ACD沿CD折起， 折成二面角A—CD—B，连接AF。 （I）求证：平面AEF⊥平面CBD；（II）当AC⊥BD时，求二面角A—CD—B大小的余弦值

Answer 1

（I）证明略 （II）

（I）证明：在 ， 又E是CD的中点，得AF⊥CD。   …………3分 折起后，AE⊥CD，EF⊥CD， 又AE∩EF=E，AE平面AED，EF平面AEF， 故CD⊥平面AEF，   …………6分 又CD平面CDB， 故平面AEF⊥平面CBD。  …………7分 （II）方法一： 解：过点A作AH⊥EF，垂足H落在FE的延长线上。 ∵CD⊥平面AEF，所以CD⊥AH， ∴AH⊥平面CBD。…………8分 以E为原点，EF所在直线为x轴，ED所在直线为y轴， 过E与AH平行的直线为z轴建立如图空间直角坐标系数。…………9分 由（I）可知∠AEF即为所求二面角的平面角， 设为 ，并设AC=a，可得 …………11分 得   …………13分 故二项角A—CD—B大小的余弦值为 …………14分 方法二： 解：过点A作AH⊥EF，垂足H落在FE的延长线， ∵CD⊥平面AEF，所以CD⊥AH， ∴AH⊥平面CBD。 …………9分 连接CH并延长交BD的延长线于G， 由已知AC⊥BD，得CH⊥BD， 即∠CGB=90°， 因此△CEH∽△CGD， 则 故  …………12分 又∵AE⊥CD，EF⊥CD， ∴∠AEF即为所求二面角的平面角，…………13分 故二项角A—CD—B大小的余弦值为 …………14分