Question

如图所示，半径R=0.45m 的光滑 1 4 圆弧轨道固定在竖直平面内，B为轨道的最低点，B点右侧的光

如图所示，半径R=0.45m 的光滑 1 4 圆弧轨道固定在竖直平面内，B为轨道的最低点，B点右侧的光滑的水平面上紧挨B点有一静止的小平板车，平板车质量M=2kg，长度为 0.5m，小车的上表面与B点等高，距地面高度为0.2m．质量 m=1kg 的物块（可视为质点）从圆弧最高点A由静止释放．g 取10m/s 2 ．试求：（1）物块滑到轨道上的B点时对轨道的压力；（2）若将平板车锁定并且在上表面铺上一种特殊材料，其动摩擦因数从左向右随距离均匀变化如图乙所示，求物块滑离平板车时的速度；（3）若撤去平板车的锁定与上表面铺的材料，此时物块与木板间的动摩擦因数为 8 15 ，物块仍从圆弧最高点A由静止释放，请通过分析判断物块能否滑离平板车．若不能，请算出物块停在距平板车左端多远处；若能，请算出物块落地时距平板车右端的水平距离．

Answer 1

（1）物体从圆弧轨道顶端滑到B点的过程中，机械能守恒，则 mgR= 1 2 m v B 2 ，解得v B =3m/s． 在B点由牛顿第二定律得，N-mg= m v B 2 R 解得N=mg+m v B 2 R =30N 即物块滑到轨道上B点时对轨道的压力N′=N=30N，方向竖直向下． （2）物块在小车上滑行时的摩擦力做功 W f =- μ 1 mg+ μ 2 mg 2 l=-2J 从物体开始滑到滑离平板车过程中由动能定理得， mgR+ W f = 1 2 m v 2 解得v= 5 m/s （3）当平板车不固定时，对物块 a 1 =μg= 16 3 m/ s 2 ． 对平板车 a 2 = μmg M = 8 3 m/ s 2 设物块与平板车经过时间t达到共同速度（物块在平板车最左端的速度v C =v B ），有 v c -a 1 t=a 2 t，解得t= 3 8 s 此时 △s= v c t- 1 2 a 1 t 2 - 1 2 a 2 t 2 = 9 8 m＞0.5m ，所以物块能滑离平板车． 设经过时间t 1 物块滑离平板车，则 v c t 1 - 1 2 a 1 t 1 2 - 1 2 a 2 t 1 2 =0.5m 解得 t 1 = 1 4 s （另一解 t 2 = 1 2 s＞ 3 8 s 舍去） 物块滑离平板车时的速度v 物 =v c -a 1 t 1 = 5 3 m/s ． 此时平板车的速度 v 车 = a 2 t 1 = 2 3 m/s ． 物块滑离平板车做平抛运动的时间 t 3 = 2h g =0.2s 物块落地时距平板车右端的水平距离x=（v 物 -v 车 ）t 3 =0.2m． 答：（1）物块滑到轨道上的B点时对轨道的压力为30N． （2）物块滑离平板车时的速度 5 m/s ． （3）能滑离平板车，物块落地时距平板车右端的水平距离为0.2m．