Question

国际象棋比赛中，胜一局得1分，平一局得0.5分，负一局得0分，今有8名选手进行单循环比赛（每两人均赛一局

国际象棋比赛中，胜一局得1分，平一局得0.5分，负一局得0分，今有8名选手进行单循环比赛（每两人均赛一局），赛完后，发现各选手的得分均不相同，当按得分由大到小排列好名次手，第四名选手得4.5分，第二名的得分等于最后四名得分总和，问前三名选手各得多少分？说明理由．

Answer 1

设第i个运动员为A_i，得分为a_i（_i=1，2，7，8），则a₁＞a₂＞…＞a₇＞a₈，由于8名选手每人参加7局比赛，胜的最多者得（7分），
即a₁≤7，共赛

7×8

2

＝28局，总积分为2（8分）
所以a₁+a₂+…+a₇+a₈=28①
因为每局得分为0，

1

2

，1三种，
所以a1＋～a8只能在{0，

1

2

，1，1.5，2，2.5，6，6.5，7}中取值，又知a₄=4.5，a₂=a₅+a₆+a₇+a₈②
若a₃≥5.5，则a₂≥6，a₁≥6.5?a₁+a₂+a₃≥6.5+6+5.5=18
由①，a₄+a₅+a₆+a₇+a₈≤10，但a₄=4.5，
所以a₅+a₆+a₇+a₈≤10-4.5=5.5这与a₂≥6矛盾，
故a₃＜5.5
但a₃＞a₄=4.5，
所以a₃=5
这时a₁+a₂+a₅+a₆+a₇+a₈=28-5-4.5=18.5
也就是a₁+2a₂=18.5
若a₂=5.5?a₁=18.5-11=7.5＞7≥a₁，这不可能
若a₂≥6.5?a₁=18.5-2a₁≤18.5-13＞5.5＜a₂，矛盾．
所以，只能a₂=6
此时a₁=18.5-2×6=6.5
所以，前三名选手得分依次为6.5，6，5．