Question

（2006?海淀区一模）已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，∠BCD=60°，PD⊥AD，点E是BC边的中点，（Ⅰ）求证：

（2006?海淀区一模）已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，∠BCD=60°，PD⊥AD，点E是BC边的中点，（Ⅰ）求证：AD⊥平面PDE；（Ⅱ）若二面角P-AD-C的大小等于60°，且AB=4，PD=833，①求点P到平面ABCD的距离；②求二面角P-AB-C的大小．

Answer 1

（Ⅰ）连接BD，底面ABCD是菱形，∠BDC=60°，∴△BCD是正三角形．
∵点E是BC边的中点，∴DE⊥BC，∵AD∥BC，∴DE⊥AD．∵DP⊥AD，DP∩AD=D，∴AD⊥平面PDE；
（Ⅱ）①∵DE⊥AD，PD⊥AD，∴∠PDE为二面角P-AD-C的平面角．，∴∠PDE=60°．
过P在平面PDE内做PK⊥DE于K，易证AD⊥PK．∴PK⊥面ABCD．∵PD=

8 3

3

，∴DK=

4 3

3

，PK=4
即点P到平面ABCD的距离是4．
②AB=4，∴DE＝2

3

，∴DK＝

2

3

DE，∴K为△BCD重心．
连接BK，∵△BCD为正三角形，所以BK为BP在面ABCD内的射影．∴PB⊥AB，∠PBK为二面角P-AB-C的平面角．
在RT△PKB中，tan∠PKB=

PK

KB

＝

PK

DK

＝

3

，∠PKB=

π

3

，二面角P-AB-C的大小为

π

3