Question

设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），已知当x∈[0，1]时，f（x）=co

设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），已知当x∈[0，1]时，f（x）=cosπx2，则以下正确命题的序号是______①?x∈R，f（1-x）=f（1+x）；②函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数；③f（x）的最大值是1，最小值是0；④f（x）的一个对称中心是（5，0）．

Answer 1

∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（-x）=f（x），
∵对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），∴f（x+2）=f（x），
即函数f（x）是以2为最小正周期的函数，
∴f（2+x）=f（-x），即f（1-x）=f（1+x），故①对；
∵当x∈[0，1]时，f（x）=cos

πx

2

，∴[0，1]为减区间，f（0）最大为1，f（1）最小为0．
由f（x）的图象关于x=1对称，得[1，2]为增区间，由周期得，[2，3]为减区间，故②错；
故f（x）的最大为1，最小为0，即③对；
当x=5时，f（5）=f（1）=0，x=5为对称轴，（5，0）不为对称中心，故④错．
故答案为：①③．