Question

等比数列的前n项的和Sn=k?3n+1，则k的值为______

等比数列的前n项的和Sn=k?3n+1，则k的值为______．

Answer 1

（法一）n=1时，a₁=S₁=3k+1
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=k?3ⁿ+1-k?3^n-1-1=2k?3^n-1
数列为等比数列可知a₁=3k+1适合上式，则2k=3k+1
∴k=-1
（法二）由等比数列的前n项和公式可得Sn＝

a1(1?qn)

1?q

=

a1

1?q

?

a1

1?q

?qn
∵S_n=1+k?3ⁿ
∴

a1

1?q

＝1，k＝?

a1

1?q

=-1
故答案为：-1

Answer 2

sn=1*3^1+2*3^2+……n*3^n
所以
3sn=1*3^2+2*3^3+……n*3^(n+1)
两式相减（上减下）得
-2sn=3+3^2+3^3+……
+3^n-n*3^(n+1)=3(1—3^n)/(1-3)
-n*3^(n+1)
(等比数列求和）
所以sn=3(1—3^n)/4+(n*3^(n+1))/2