Question

已知数列{an}的通项an=2n-14．（1）当n为何值时，前n项的和Sn有最小值，并求出这个最小值．（2）数列{|an

已知数列{an}的通项an=2n-14．（1）当n为何值时，前n项的和Sn有最小值，并求出这个最小值．（2）数列{|an|}前n项和为Tn，求Tn．

Answer 1

（1）∵a_n+1-a_n=[2（n+1）-14]-（2n-14）=2，为常数，
∴{a_n}为公差为2的等差数列，
由a_n=2n-14≥0，得n≥7，
∴当n≤6时，a_n＜0，a₇=0，
∴前6项或前7项的和最小，S_n的最小值为S₆=S₇=-42；
（2）①当n≤6时，a_n＜0，
T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|
=-a₁-a₂-…-a_n
=-（a₁+a₂+…+a_n）
=-

n(?12+2n?14)

2

=-n²+13n；
②当n≥7时，a_n≥0，
T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|
=-a₁-a₂-…-a₆+a₇+a₈+…+a_n
=-2（a₁+a₂+…+a₆）+a₁+a₂+…+a₆++a₇+a₈+…+a_n
=-2×

6(?12?2)

2

+

n(?12+2n?14)

2

=84+n²-13n=n²-13n+84，
∴Tn＝

?n2+13n(n≤6) n2?13n+84(n≥7)

．