Question

初中数学 急 好的追加 很简单 如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，证明：BC+DC=AC 有图

如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，证明：BC+DC=AC．
看图一 用四点共圆 别的不要
要四点共圆
图二没用，看图一

Answer 1

BAD=60，AB=AD所以三角形BAD为等边三角形
BD=AB=AD
又BAD+BCD=180,ABCD四点共圆
角ACB=角ADB=60
角ACD=角ABD=60
所以ACB=ACD
BD/sinBCD=CD/sinCBD=BC/sinBDC
CD=BD*sinCBD/sin120
BC=BD*sinBDC/sin120
AC/sinABC=AB/sin60
AC/sinADC=AD/sin60
ACB+ACD=120
ABC=CBD+60
ADC=BDC+60
CBD+BDC=60
sin(CBD+60)/sin60=sin(BDC+60)/sin60
CBD=BDC=30
BC+CD=BD(sinCBD+sinBDC)/sinBCD
=BD/sin120
AC=AB*sin90/sin60
=AB/sin60
sin120=sin60
AB=BD
则BC+CD=AC

Answer 2

∠BAD+∠BCD=180° 所以四点共圆（内接四边形对角互补逆定理）
取圆心O，则BO=CO=DO. 又∠BCA=∠ACD=60°
所以BC=CD=OC
所以BC+CD=2OC=AC

Answer 3

把三角形ACD绕A点顺时针旋转60度，得到三角形AC'B
易证ABCD四点共圆，所以C',B,C共线
所以三角形ACC'是等边三角形
所以CC'=AC
即BC+DC=AC．

Answer 4

在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=60°+120°=180°,，∠ABC+∠ADC=180°,故ABCD四点共圆。
（1） 弦AB=弦AD,则弧AB=弧AD,故∠ACB=∠ACD=60°.
(2) 在AC上取一点E使EC=BC,连接BE,已证∠ACB=60°,则知BEC为等边三角形。
连接BD,已知AB=AD,∠BAD=60°，则知ABD为等边三角形。
在△ABE和△DBC中：AB=DB、 BE=BC、∠ABE=60°-∠EBD=∠DBC,故两者全等。得AE=DC.
所以：BC+DC=EC+AE=AC.

Answer 5

你知道托勒密定理吗
我用它来解题
连接BD
易知三角形BAD为等边三角形
又BAD+BCD=180,ABCD四点共圆
因为
ABCD四点共圆
用托勒密定理知
AB*DC+BC*AD=BD*AC
因为三角形BAD为等边三角形
AB=AD=BD
则可证BC+DC=AC

如果不知道托勒密定理
可以在网上查