Question

已知函数f(x)=a^x-1/a^x,(其中a＞0且a≠1，a为实数常数)

(1)讨论f(x)的单调性

(2)a^tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

1. f(x)=a^x-1/a^x=a^x-a^(-x)
f(x)的一阶导数为 f(x)' =lna[a^x+a^(-x)]
由于 a^x+a^(-x)>0,所以, f(x)'的正负取决于 lna
当a<1时,f '(x)<0 ,f(x)是单调下降
当a>1时,f '(x)>0 ,f(x)是单调上升
2. f(2x)=a^2x-a^(-2x)=[a^x-a^(-x)]^2
=f(x)^2
a^tf(2t)+mf(t)=a^t*f(t)^2+m*f(t))≥0
即
f(t)*[ a^t*f(t)+m]≥0
在[1，2] 区间 当a>0，f(t)>0 所以
a^t*f(t)+m≥0
a^(2t)-1+m≥0
m≥1-a^(2t)
t=1时 m≥1-a^2
t=2时 m≥1-a^4
因需同时满足，故:
m≥1-a^2 ---- (1)
当a<0，f(t)<0 所以
a^t*f(t)+m<=0
a^(2t)-1+m<=0
m<=1-a^(2t)
t=1时 m<=1-a^2
t=2时 m<=1-a^4
因需同时满足，故:
m<=1-a^2 --- (2)
要同时满足(1),(2)两式，只有
m=1-a^2