Question

已知关于x的二次函数f(x)=-x²-ax+b(x∈[-1,1])的最小值是-1,最大值是1,求a,b的值

Answer 1

此题需分类讨论，过程颇为复杂。
最值在哪一点取得是解题的关键，而最值的取得和对称轴的位置有关。
因此题目分类讨论的基准就是对称轴和区间[-1,1]的位置关系。
二次函数开口向下，因此对称轴的左边是递增的，右边是递减的。

一、当对称轴x=-a/2∈[-1,1]时
【1】当a>0时,那么对称轴-a/2<0,那么讨论进一步细化：
对称轴在[-1,0）之间，a∈（0，2]
最大值f(-a/2)=(a²/4)+b=1
最小值f（1）=-1-a+b=-1
联立：a^2+4a-4=0
b=-2+2√2，a=-2+2√2满足a∈（0，2]

【2】当a＜0时,那么对称轴-a/2＞0,那么讨论再进一步细化：
对称轴在（0,1]之间，a∈[-2，0)
最大值f(-a/2)=(a²/4)+b=1
最小值f（-1）=-1+a+b=-1
联立：a^2-4a-4=0
b=-2+2√2，a=2-2√2满足a∈[-2，0)

【3】当a=0时,那么对称轴为x=0：
最大值f(0)=(0)+b=1，b=1
最小值f（±1）=-1+b=-1，b=0
b=0与b=1矛盾
故a=0，b=-1不满足题意

二、当对称轴x=-a/2在[-1,1]的左边时
【1】对称轴在[-1,1]的左边，a≥2
则最大值f（-1）=-1+a+b=1
最小值f（1）=-1-a+b=-1
联立：b=1，a=1与a≥2矛盾。

三、当对称轴x=-a/2在[-1,1]的右边时
【1】对称轴在[-1,1]的右边，a≤-2
则最大值f（1）=-1-a+b=1
最小值f（-1）=-1+a+b=-1
联立：b=1，a=-1，与a≤-2矛盾。

综上：满足题意的有：
①b=-2+2√2，a=-2+2√2
②b=-2+2√2，a=2-2√2

Answer 2

当a<-2时f(x)min=f(-1)=a+b-1=-1,f(x)max=f(1)=b-a-1=1
由此可得a=-1,b=1，不符合题意故舍去
当-2≤a<0时f(x)min=f(-1)=a+b-1=-1,f(x)max=f(-a/2)=0.24a²+b
由此可得a1=2+2√2,b2=-2√2-2(不符合题意故舍去) a2=2-2√2,b2=2√2-2 此解合适
当0≤a≤2时f(x)min=f(1)=b-a-1=-1,f(x)max=f(-a/2)=0.24a²+b
由此可得a1=-2-2√2,b2=-2√2-2(不符合题意故舍去) a2=2√2-2,b2=2√2-2 此解合适
当a>2时f(x)min=f(1)=b-a-1=-1,f(x)max=f(-1)=a+b-1=1
由此可得a=1,b=1，不符合题意故舍去
综上所述a=2-2√2,b=2√2-2或a=2√2-2,b=2√2-2

Answer 3

解：
y=-x^2-ax+b 对称轴x=-b/2a=-a/2

①：
当-a/2≤-1时 ，a≥2
此时 f(-1)max=1 , f(1)min=-1
解之得：a= 1 , b=1
但a要≥2 ∴不符

②：
当-a/2≥1时 ，a≤-2
此时 f(1)max=1 , f(-1)=-1
解之得： a=-1 , b=1
但a要≤-2 ∴不符

③：
当 -1≤-a/2≤0时 ， 0≤a≤2
此时，f(-a/2)max=1 , f(1)min=-1
解之得：a= b=2+2SQR(2) SQR为根号

④ 0＜-a/2≤1时 ， -2≤ a≤0
此时，f(-a/2)max=1 ， f(-1)=-1
解之得：a=b=2 不符

综上 a=2+2SQR（2）

Answer 4

f(x)'= -2x-a 令f(x)'=0解得x=-a/2
当-a/2∈[-1,1]，知在x=-a/2取最大值（因为函数开口向下）
所以最大值为f(-a/2))=a²/4+b=1
最小值为f(1)或f(-1)
f(1)=-1-a+b=-1 为最小时,联立解得a=b=2√2-2 （这里要知道-a/2<0,要舍去-2√2-2 这个解）
f(-1)=………………得a=-b=-2√2+2（这里要知道-a/2>0,要舍去2√2+2 这个解）
当-a/2∈[-无穷,-1]或[1,+无穷]时
f(1)与f(-1)一个为最大一个为最小值
当f(1)最大f(-1)最小时
-1+a+b=-1,-1-a+b=1,有a=-1,b=1（与假设矛盾舍去）
当f(1)最小f(-1)最大时
-1+a+b=1,-1-a+b=-1,有a=1,b=1（与假设矛盾舍去）
综上
a=2√2-2 b=2√2-2
a=-2√2+2 b=2√2-2
题中没有给出具体的限制，这几种结果都要考虑

Answer 5

f(x)= -x²-ax-a²+a²+b = -(x+a)² + a²+b
假设a∉[-1,1], 可以验证这样的a是不存在的;
所以a∈[-1,1]
当x=-a,可取到最大值a²+b=1;
当a>0, x=1时取最小值;当a<0,x=-1时取最小值; a分别是√2-1, 1-√2
两种情况下b都是2√2-2

2L答案是错的,取x=1/2即可验证a=-1,b=1是不符合的