Question

如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从D开始向A以

如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从D开始向A以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t表示时间（0≤t≤6）则：（1）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？（2）设△PCQ的面积=S，求出S与t的函数关系式，并探索S的最值情况．

Answer 1

（1）∵AB=12，BC=6，
v_P=2，v_Q=1，
AP=v_Pt=2t，
DQ=v_Qt=t，
AQ=DA-DQ=6-t，
∴BP=AB-AP=12-2t=2（6-t），
当△QAP∽△PBC时：
QA：PB=AP：BC，
（6-t）：（12-2t）=2t：6，
t=1.5，
当△PAQ∽△PBC时：，
PA：PB=AD：BC，
2t：（12-2t）=（6-t）：6，
（6-t）²=6t，
t²-18t+36=0，
（t-9）²=45
t=9±3

5

，
t=9+

5

＞6，舍去，
∴t=9-3

5

，
综上：t=1.5，或t=9-3

5

；
（2）依题意，得S=S_矩形ABCD-S_△QDC-S_△QAP-S_△PBC
整理，得S=t²-6t+36．
配方，得S=（t-3）²+27．
∴S与t之间的函数关系式为S=t²-6t+36．
当t=3时，S有最小值，最小值是27．