Question

设函数y=f（x）是定义在R + 上的函数，并且满足下面三个条件：（1）对任意正数x、y，都有f（xy）=f（x）+

设函数y=f（x）是定义在R + 上的函数，并且满足下面三个条件：（1）对任意正数x、y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；（2）当x＞1时，f（x）＜0；（3）f（3）=﹣1，（I）求f（1）、 的值；（II）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围．（III）如果存在正数k，使不等式f（kx）+f（2-x）＜2有解，求正数k的取值范围．

Answer 1

解：（I）令x=y=1易得f（1）=0． 而f（9）=f（3）+f（3）=﹣1﹣1=﹣2 且 ， 得 ． （II）设0＜x 1 ＜x 2 ＜+∞， 由条件（1）可得 ， 因 ，由（2）知 ， 所以f（x 2 ）＜f（x 1 ）， 即f（x）在R + 上是递减的函数． 由条件（1）及（I）的结果得： 其中0＜x＜2， 由函数f（x）在R + 上的递减性，可得： ， 由此解得x的范围是 ． （III）同上理，不等式f（kx）+f（2﹣x）＜2可化为 且0＜x＜2， 得 ， 此不等式有解，等价于 ， 在0＜x＜2的范围内，易知x（2﹣x） max =1， 故 即为所求范围．