Question

已知a b c为△abc的三边长,求证:关于X的方程b^2x^2+(b^2-c^2-a^2)x-c^2=0有实数根

Answer 1

△=b^2-4ac
=(b^2+c^2-a^2)^2-4b^2c^2
=(b^2+c^2)^2-2(b^2+c^2)a^2+a^4-4b^2c^2
=(b^2-c^2)^2-2(b^2-c^2)a^2+a^4-4a^2c^2
=(b^2-c^2-a^2)^2-4a^2c^2
=(b^2-c^2-a^2+2ac)(b^2-c^2-a^2-2ac)
=[b^2-(a-c)^2][b^2-(a+c)^2]
=(b+a-c)(b-a+c)(b-a-c)(b+a+c)
因为a,b,c是三角形的三条边,则a>0,b>0,c>0 且a+b>c,a+c>b,b+c>a
所以b+a-c>0,b-a+c>0,b-a-c<0,a+b+c>0
所以△<0
所以原方程没有实数根。