Question

如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶

如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（-1，0），点B在抛物线y=ax2+ax-2上．（1）点A的坐标为______，点B的坐标为______；（2）抛物线的解析式为______；（3）设（2）中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；（4）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵C（-1，0），AC=

5

，
∴OA=

AC2?OC2

=

5?1

=2，
∴A（0，2）；
过点B作BF⊥x轴，垂足为F，
∵∠ACO+∠CAO=90°，∠ACO+∠BCF=90°，∠BCF+∠FBC=90°，
在△AOC与△CFB中，
∵

∠FBC＝∠ACO BC＝AC ∠BCF＝∠CAO

，
∴△AOC≌△CFB，
∴CF=OA=2，BF=OC=1，
∴OF=3，
∴B的坐标为（-3，1），
故答案为：（0，2），（-3，1）；

（2）∵把B（-3，1）代入y=ax²+ax-2得：
1=9a-3a-2，
解得a=

1

2

，
∴抛物线解析式为：y=

1

2

x²+

1

2

x-2．
故答案为：y=

1

2

x²+

1

2

x-2；

（3）由（2）中抛物线的解析式可知，抛物线的顶点D（-

1

2

，-

17

8

），
设直线BD的关系式为y=kx+b，将点B、D的坐标代入得：

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