Question

求一元二次方程根与系数的关系与判别式定理的难题集锦解法。（卷子内容问题补充）

1、是否存在实数m，使方程x²+3x+2m-1=0 满足。1.有一个根为零m= 2.两根互为倒数m= 3。有两个负根m=
2、已知关于x的二次方程（m-1）x²-（2m+1）x+12-3m=0，是否存在实数m，使1、方程有两个不相等的实数根m= 2、方程有两个正实数根m= 3、方程有两个异号的实数根m=
（还有两个一会补充）
3、已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为p，q且满足关系式①p+q（p+1）=5 ②p²q+pq²=6 试求这个一元二次方程。
4、已知关于x的方程x²+2（m-2）x+m²=0有两个实数根且两根的平方和比两根的积大33求m的值。

Answer 1

（1）
当m=1时，原方程为一次方程：-3x+9=0，1、2、3小问都不满足
当m≠1时，
① 有一个根为0，代入方程：0+2m-1=0
解得 m=1/2
② 设两根为x1，x2。两根互为倒数，则x1x2=1
又x1x2=c/a=2m-1（韦达定理），所以2m-1=1
解得 m=1
③ 有两个负根，那么△≥0（=0时，可能为两个相等的负根，即重根）且x1x2>0且 x1+x2<0
9-4(2m-1)≥0 => 13-8m≥0 => m≤-13/8
2m-1>0 => m>1/2
x1+x2=-b/a=-3 恒小于0
解得-13/8≤m<1/2
（2）
①若方程有两个不相等的实数根，则△>0
(2m+1)²-4(m-1)(12-3m)>0
16m²-56m+49>0
(4m-7)²>0
存在这样的实数m，m≠7/4且m≠1
②若方程有两个正实数根，则△≥0且x1x2>0且x1+x2>0
(4m-7)²≥0 => m∈R
(12-3m)/(m-1)>0 => (12-3m)*(m-1)>0且m≠1 => 1/4<m<1
(2m+1)/(m-1)>0 => (2m+1)*(m-1)>0 且m≠1 => m<-1/2或m>1
由三个不等式解得：无解
不存在这样的m
③若方程有两个异号的实数根，则△>0且x1x2<0
(4m-7)²>0 => m≠7/4
(12-3m)/(m-1)>0 => (12-3m)*(m-1)<0且m≠1 => m<1/4或m>1
由以上两个不等式解得： m<1/4或m>1且 m≠7/4 （ (-∞,1/4)∪(1,7/4)∪(7/4,+∞) ）
存在这样的m，m<1/4或m>1且 m≠7/4
（3）
设方程为：x²+bx+c=0
则，p+q=-b，pq=c => b=-(p+q),c=pq
p+q(p+1)=5 => p+q+pq=5
p²q+pq²=6 => pq(p+q)=6
解得p+q=2，pq=3或者p+q=3，pq=2
方程为：x²-2x+3=0 或 x²-3x+2=0
（4）已知关于x的方程x²+2(m-2)x+m²=0有两个实数根且两根的平方和比两根的积大33求m的值。
由题：△≥0且x1²+x2²=x1x2+33，因为x1²+x2²=(x1+x2)² - 2x1x2=[-2(m-2)]² - 2m²=2m²-16m+16 ，所以
4(m-2)²-4m²≥0 => 16-16m≥0 => m≤1
2m²-16m+16 =m²+33 => m²-16m-17=0 => (m-17)(m+1)=0
解得m=-1或m=17，因为m≤1，17舍去
所以m=-1
（累~。~）

Answer 2

b²-4ac＞0有两根，b²-4ac＜0无根，b²-4ac=0一根
x1·x2=c／a, x1+x2=﹣b／a

Answer 3

这么简单的问题，你们老师没说吗？