Question

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；（2）求证：平面CAA1

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．（3）如果AB=1，一个点从F出发在正方体的表面上依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的点，又回到F，指出整个线路的最小值并说明理由．

Answer 1

解答：解：（1）证明：连接BD．
在长方体AC₁中，对角线BD∥B₁D₁．又∵E、F为棱AD、AB的中点，∴EF∥BD．∴EF∥B₁D₁．又B₁D_1⊥平面CB₁D₁，EF?平面CB₁D₁，∴EF∥平面CB₁D₁．
（2）∵在长方体AC₁中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，而B₁D₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，∴AA₁⊥B₁D₁．
又∵在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，∴B₁D₁⊥平面CAA₁C₁．
又∵B₁D₁平面CB₁D₁，∴平面CAA₁C₁⊥平面CB1D1．
（3）最小值为3

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∴如图，将正方体六个面展开，从图中F到F，两点之间线段最短，
而且依次经过棱BB₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁D、DA上的中点，所求的最小值为3

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