Question

已知函数f（x）=（2-a）x-2（1+lnx）+a．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（0

已知函数f（x）=（2-a）x-2（1+lnx）+a．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（0，12）无零点，求a的最小值．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=x-1-2lnx，则f′（x）=1-

2

x

，定义域x∈（0，+∞），
由f′（x）＞0，得x＞2；由f′（x）＜0，得0＜x＜2，
故f（x）的单调减区间为（0，2），单调增区间为（2，+∞）．
（2）f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，
令m（x）=（2-a）（x-1），x＞0；h（x）=2lnx，x＞0，则f（x）=m（x）-h（x），
①当a＜2时，m（x）在（0，

1

2

）上为增函数，h（x）在（0，

1

2

）上为增函数．
结合图象可知，若f（x）在（0，

1

2

）无零点，则m（

1

2

）≥h（

1

2

）．
即（2-a）×（

1

2

-1）≥2ln

1

2

，∴a≥2-4ln2．
∴2-4ln2≤a＜2．
②当a≥2时，在（0，

1

2

）上m（x）≥0，h（x）＜0．
∴f（x）＞0，
∴f（x）在（0，

1

2

）上无零点，
由①②得a≥2-4ln2，
∴a_min=2-4ln2．