如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,点D、E分别是边AC、AB上的动点,以DE为直径作⊙O.(1)如图1,如
如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,点D、E分别是边AC、AB上的动点,以DE为直径作⊙O.(1)如图1,如果DE为△ABC的中位线,试判断BC与⊙O的位...
如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,点D、E分别是边AC、AB上的动点,以DE为直径作⊙O.(1)如图1,如果DE为△ABC的中位线,试判断BC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)在BC与⊙O相切的条件下,①如图2,如果点A与点E重合,试求⊙O的半径;②如图3,如果DE∥BC,试求⊙O的半径;③求⊙O的半径的最小值(直接写出答案).
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(1)⊙O与BC相交.理由如下:
如图1,过点E作EF⊥BC于点F.
∵DE是△ABC的中位线,
∴DE∥BC,DE=
BC=5,BE=
AB=3,
∴⊙O的半径为
,DE与BC间的距离就是EF的长度.
∵sin∠B=
=
,即
=
,
∴EF=
.
∵
>
,
∴⊙O与BC相交;
(2)①设⊙O半径为r1.
∵⊙O与BC相切,
∴OF⊥BC.
∵Rt△COF∽Rt△CBA,
∴
=
,即
=
,
∴r1=3,即⊙O半径为3;
②设⊙O半径为r2.
∵BC与⊙O相切,
∴OF⊥BC.
过点A作AH⊥BC交DE于G,交BC于点H.则GH=OF=r2.
∵
AB?AC=
BC?AH,即6×8=10×AH,
∴AH=
.
∵DE∥BC,
∴△AED∽△ABC,
∴
=
,即
=
,
∴
=
,
解得.r2=
,即⊙O半径为
;
③连接OA.要使得⊙O半径最小,则要OA+OF最小,此时,A,O,F三点共线且A,O,F所在直线垂直于BC.
即AO+OF=
,
即⊙O半径最小为:
(AO+OF)=
.
如图1,过点E作EF⊥BC于点F.
∵DE是△ABC的中位线,
∴DE∥BC,DE=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴⊙O的半径为
5 |
2 |
∵sin∠B=
EF |
BE |
AC |
BC |
EF |
3 |
8 |
10 |
∴EF=
12 |
5 |
∵
5 |
2 |
12 |
5 |
∴⊙O与BC相交;
(2)①设⊙O半径为r1.
∵⊙O与BC相切,
∴OF⊥BC.
∵Rt△COF∽Rt△CBA,
∴
OF |
AB |
OC |
BC |
r1 |
6 |
8?r1 |
10 |
∴r1=3,即⊙O半径为3;
②设⊙O半径为r2.
∵BC与⊙O相切,
∴OF⊥BC.
过点A作AH⊥BC交DE于G,交BC于点H.则GH=OF=r2.
∵
1 |
2 |
1 |
2 |
∴AH=
24 |
5 |
∵DE∥BC,
∴△AED∽△ABC,
∴
AG |
AH |
DE |
BC |
AH?r2 |
AH |
2r2 |
BC |
∴
| ||
|
2r2 |
10 |
解得.r2=
120 |
49 |
120 |
49 |
③连接OA.要使得⊙O半径最小,则要OA+OF最小,此时,A,O,F三点共线且A,O,F所在直线垂直于BC.
即AO+OF=
24 |
5 |
即⊙O半径最小为:
1 |
2 |
12 |
5 |
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