Question

数学题：已知f(x)=x^2-(a+1/a)x+1若关于x的不等式f(X)≤0的解集为{x/1/2≤x≤2}求a的值

(2)、若a大于0，解关于x的不等式f(x)大于等于0
（3）、若x大于0，f(x)/x的最小值不小于4，试求实数a的取值范围

Answer 1

（1）
这是一个二次函数，其图像开口向上，由f(x)<=0解集可知零点即是x=1/2和x=2
那么f(1/2)=1/4-(a+1/a)/2+1=0
f(2)=4-2(a+1/a)+1=0
得(a+1/a)=5/2
a自然大于0，a+1/a=5/2很容易得到a=2或a=1/2

（2）
f(x)=g(a)=x^2-(a+1/a)x+1
a>0则ag(a)=ax^2-xa^2-x+a=-xa^2+(1+x^2)a-x=(-xa+1)(a-x)
两根为x=a和x=1/a，且图像开口向下，所以解集为{x|1/a<=x<=a (a>=1)和a<=x<=1/a(a∈（0,1）)}

（3）
h(x)=f(x)/x=x-(a+1/a)+1/x
x+1/x>=2(x>0)
那么-(a+1/a)>2
a+1/a<-2
所以a<0且a不等于-1

追问

2） 为什么“且图像开口向下”
3）a+1/a<-2应该a+1/a大于等于-2吧

Answer 2

（1）f(x)=x^2-(a+1/a)x+1≤0
则 （x-a)(x-1/a)≤0
a=1/2时，即
（x-1/2）（x-2）≤0
1/2 ≤x≤2

2）f(x)=x^2-(a+1/a)x+1≤0
则 （x-a)(x-1/a)≤0
当0<a<1时 a< 1/a，解集为 a≤ x≤ 1/a
当a≥1时，1/a≤ a，解集为 1/a≤ x≤ a