Question

如图，在平面直角坐标系中。已知抛物线的顶点坐标是M（1,2）,并且经过点C（0,3）,抛物线与直线

如图，在平面直角坐标系中。已知抛物线的顶点坐标是M（1,2）,并且经过点C（0,3）,抛物线与直线x=2交于点p。
①求抛物线的函数表达式。
②在直线上取一点A（2.5）,求三角形PAM的面积。
③抛物线上是否存在点Q（不同于点p），使三角形QAM的面积与三角形PAM的面积相等?如果存在，这样的Q点有几个?请求其中一个q点的坐标，如果不存在，请说明理由。

Answer 1

(1)
设抛物线方程y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/(4a)
x=1,y=2 x=0 y=3代入
-b/2a=1
(4ac-b^2)/4a=2
c=3
解之得a=1 b=-2 c=3
抛物线的解析式为y=x^2-2x+3

(2)
求P点坐标：令x=2 得y=4-4+3=3 P点坐标（2,3)
S△PAM=(5-3)*(2-1)/2=1

(3)实际就是问在抛物线上有没有一点和P点关于直线AM对称。
直线AM斜率：(2-5)/(1-2)=3
直线PQ斜率:-1/3
令直线PQ方程为：y=-x/3+b x=2,y=3代入
b=11/3
y=-x/3+11/3求其与y=x^2-2x+3的交点。
-x/3+11/3=x^2-2x+3
整理，得
3x^2-5x-2=0
(x-2)(3x+1)=0
x=2(舍去） x=-1/3,此时y=34/9
结论：存在这个点Q，坐标（-1/3,34/9)

追问

第一题y等于2还是3

追答

是两个不同的点，M和C