Question

一个数学竞赛不等式问题： 正实数x,y,z满足2x+3y+4z=22，则2/x+3/y+9/z的最小值为？

一个数学竞赛不等式问题： 正实数x,y,z满足2x+3y+4z=22，则2/x+3/y+9/z的最小值为？

Answer 1

方法一 ：
∵2x+3y+4z=22 ≥ 3 ³√﹙2x×3y×4z﹚＝3 ³√﹙24xyz﹚
∴3 ³√﹙24xyz﹚≤22
∴xyz≤ 1331／81
同理：
2/x+3/y+9/z ≥2/x+3/y+9/z ≥3 ³√﹙2/x﹚﹙3/y﹚﹙9/z﹚ ＝3 ³√﹙54／xyz﹚
∵xyz ≤ 1331／81
∴3 ³√﹙54／xyz﹚ ≥3 ³√[54／（1331／81）]

点评：三次基本不等式的运用不是解本题的关键， 因为等号不能同时成立

解法二：
运用柯西不等式法
∵(2x+3y+4z)(2/x+3/y+9/z) ≥(√4+√+√36)²
∴22(2/x+3/y+9/z)≥(2+3+6)²
∴(2/x+3/y+9/z)≥121／22＝11／2
点评：这个才是王道！

Answer 2

柯西不等式
(a+b+c)(d+e+f)>=(根号ad+根号be+根号cf)^2
等号成立条件
d/a=e/b=f/c
此处
(2x+3y+4z)(2/x+3/y+9/z)>=(根号4+根号9+根号36)^2
22(2/x+3/y+9/z)>=(2+3+6)^2
(2/x+3/y+9/z)>=11/2

等号成立时
(2/x)/2x=(3/y)/3y=(9/z)/4z
x^2=y^2=4z^2/9
因为是正实数，开根即得
x=y=2z/3
z=3x/2
代入得
2x+3x+4*3x/2=22
11x=22
x=2,y=x=2,z=3
最小值为11/2

Answer 3

将要求式子乘以2x+3y+4z在除以22，之后利用均值不等式即可。