Question

换元法解方程(x^2+x)^2-4(x^2+x)-12=0和（2x^2-3x)^2+5(2x^2-3x)+4=0

Answer 1

解：
(x²+x)²-4(x²+x)-12=0
令y=x²+x，原方程变为：
y²-4y-12=0
(y+2)(y-6)=0
y+2=0 或 y-6=0
y=-2 或 y=6

当y=-2时：
x²+x=-2
x²+x+2=0
△=1²-4×1×2=1-8=-7﹤0，此方程无实数解
当y=6时：
x²+x=6
x²+x-6=0
(x+3)(x-2)=0
x+3=0 或 x-2=0
x=-3 或 x=2
所以，原方程的解为 x=-3 或 x=2

(2x²-3x)²+5(2x²-3x)+4=0
令a=2x²-3x，原方程变为：
a²+5a+4=0
(a+1)(a+4)=0
a+1=0 或 a+4=0
a=-1 或 a=-4

当a=-1时：
2x²-3x=-1
2x²-3x+1=0
(x-1)(2x-1)=0
x-1=0 或 2x-1=0
x=1 或 x=1/2
当a=-4时：
2x²-3x=-4
2x²-3x+4=0
△=(-3)²-4×2×4=9-32=-23﹤0，此方程无实数解
所以，原方程的解为 x=1 或 x=1/2

Answer 2

解：令t=x^2+x,m=2x^2-3x,则上述方程变为：
t^2-4t-12=0 (1)
m^2+5m+4=0 (2)
(1)(2)分别因式分解得
（t-6)(t+2)=0 （3）
(m+1)(m+4)=0 （4）
所以
由（3）得x^2+x=6 得x=-3,x=2
或x^2+x=-2(△=1²-4×1×2=1-8=-7﹤0，此方程无实数解)
解得x=-3,x=2
由（4）得2x^2-3x=-1 得x=1/2,x=1
或2x^2-3x=-4（△=(-3)²-4×2×4=9-32=-23﹤0，此方程无实数解）
综上所诉方程（1）解为x=-3,x=2
方程（2）解为x=1/2,x=1