Question

设函数f(x)=lnx-ax+ （1-a ） / x -1．当a= 1/ 3 时，求函数f（x）的单调区间；

设函数f(x)=lnx-ax+ （1-a ） / x -1．当a= 1/ 3 时，求函数f（x）的单调区间；
求导发现f’（x）=-2/（3x²）+1/x-1/3
令t=1/x（t＞0）
f‘（t）=）=-2t²/3+t-1/3=0，作图可知，t∈（0,1/2）（1.﹢无穷）单调减，那么x∈（0,1），随着x增大，t减小，f（x）增大，即（0,1）单增，同理（2，+无穷）单增，（1,2）单减
问题：
为什么和令f‘（x）＞0结果不同呢？

Answer 1

令t=1/x（t＞0）时，应该是
f‘（t）=-2t²/9+t-1/3=0，此时t=9/4*(1±√(19/27))时，f‘（t）=0
于是：x=4/9/(1±√(19/27))时,f’（x）=0
其中：
x=4/9/(1+√(19/27))是f(x)的极小值
x=4/9/(1-√(19/27))是f(x)的极大值
于是：x∈(0，4/9/(1+√(19/27)))、(4/9/(1-√(19/27)).﹢无穷)单调减；x∈(4/9/(1+√(19/27))，4/9/(1-√(19/27)))单调增。

追问

可是答案不是这个啊f‘（t）=-2t²/9+t-1/3=0这怎么可能
而且我想知道的是我的思路哪里不对

追答

思路本身没有不对。
-2t²/9+t-1/3=0为什不能成立呢？
判别式：b^2-4*a*c=1-4×2/9×1/3=19/27>0，有两个解啊。而且两个解都大于零。

追问

可是比方说t∈（1.﹢无穷）单调减即x∈（0,1），随着x增大，t减小，随着t减小，f（x）增大啊。那么（0,1）不是增区间吗

追答

注意如果用t做变量，则原函数应该是ln(1/t)-a/t+(1-a)*t-1，此时t∈（1.﹢无穷）将是递增。而t∈（1.﹢无穷）对应的是x∈（1.0），因而，x∈（0.1）是递减。