Question

求心形线r=a(1+cosα)(a>0)所围平面图形绕极轴旋转一周而成的旋转体的体积,求详细过程

Answer 1

极轴就是θ=0的射线，或者不准确的讲就是X轴正半轴。

显然，心形线关于极轴对称，取其上半部分图形（0<θ<π）

绕极轴旋转所称立体的体积微元：

dV=π*|y|^2*ds

ds=rdθ

y=rsinθ

所以

V=∫π(rsinθ)^2*rdθ （积分限从0到π，下同） =π*∫r^3*(sinθ)^2dθ

=πa^3*∫(1+cosθ)^3*(sinθ)^2dθ （令t=θ/2）

=πa^3*∫[2(cost)^2]^3*(2sintcost)^2*2dt(积分限从0到π/2，下同)

=64πa^3*∫(cost)^8*(sint)^2dt

=64πa^3*[∫(cost)^8dt-∫(cost)^10dt] (用华里士公式)

=64πa^3*(π/2)*[(7*3*5*1)/(8*6*4*2)-(9*7*5*3*1)/(10*8*6*4*2)]

=32π^2*a^3*7/256

=7π^2*a^3/8

扩展资料：

在某点切线的方向不是确定的，这就使得我们无法从切线开始入手，这就需要我们来研究导数处处不为零的这一类曲线，我们称它们为正则曲线。正则曲线才是经典曲线论的主要研究对象。

处处转折的曲线一般具有无穷大的长度和零的面积，这时，曲线本身就是一个大于1小于2维的空间。

直观上，曲线可看成空间质点运动的轨迹。曲线的更严格的定义是区间α，b)到E3中的映射r:α,b)E3。

对于平面曲线，与空间曲线论基本定理相仿，它的形态由其相对曲率kr(s)所确定,故kr(s)的极值自然是令人感兴趣的。

相对曲率kr(s)的逗留点，的点称为曲线的顶点，对于凸闭曲线，即位于其上每一点的切线的一侧的曲线，成立著名的四顶点定理：平面凸闭曲线至少有四个顶点，因为椭圆只有四个顶点，所以这个结论不能再改进。

Answer 2

极轴就是θ=0的射线，或者不准确的讲就是X轴正半轴。

显然，心形线关于极轴对称，取其上半部分图形（0<θ<π）

绕极轴旋转所称立体的体积微元：

dV=π*|y|^2*ds

ds=rdθ

y=rsinθ

所以

V=∫π(rsinθ)^2*rdθ （积分限从0到π，下同） =π*∫r^3*(sinθ)^2dθ

=πa^3*∫(1+cosθ)^3*(sinθ)^2dθ （令t=θ/2）

=πa^3*∫[2(cost)^2]^3*(2sintcost)^2*2dt(积分限从0到π/2，下同)

=64πa^3*∫(cost)^8*(sint)^2dt

=64πa^3*[∫(cost)^8dt-∫(cost)^10dt] (用华里士公式)

=64πa^3*(π/2)*[(7*3*5*1)/(8*6*4*2)-(9*7*5*3*1)/(10*8*6*4*2)]

=32π^2*a^3*7/256

=7π^2*a^3/8

扩展资料：

在某点切线的方向不是确定的，这就使得我们无法从切线开始入手，这就需要我们来研究导数处处不为零的这一类曲线，我们称它们为正则曲线。正则曲线才是经典曲线论的主要研究对象。

处处转折的曲线一般具有无穷大的长度和零的面积，这时，曲线本身就是一个大于1小于2维的空间。

直观上，曲线可看成空间质点运动的轨迹。曲线的更严格的定义是区间α，b)到E3中的映射r:α,b)E3。

对于平面曲线，与空间曲线论基本定理相仿，它的形态由其相对曲率kr(s)所确定,故kr(s)的极值自然是令人感兴趣的。

相对曲率kr(s)的逗留点，的点称为曲线的顶点，对于凸闭曲线，即位于其上每一点的切线的一侧的曲线，成立著名的四顶点定理：平面凸闭曲线至少有四个顶点，因为椭圆只有四个顶点，所以这个结论不能再改进。

参考资料来源：百度百科——曲线

Answer 3

极轴就是θ=0的射线，或者不准确的讲就是X轴正半轴。

显然，心形线关于极轴对称，取其上半部分图形（0<θ<π）
绕极轴旋转所称立体的体积微元：
dV=π*|y|^2*ds
ds=rdθ
y=rsinθ
所以
V=∫π(rsinθ)^2*rdθ （积分限从0到π，下同） =π*∫r^3*(sinθ)^2dθ
=πa^3*∫(1+cosθ)^3*(sinθ)^2dθ （令t=θ/2）
=πa^3*∫[2(cost)^2]^3*(2sintcost)^2*2dt(积分限从0到π/2，下同)
=64πa^3*∫(cost)^8*(sint)^2dt
=64πa^3*[∫(cost)^8dt-∫(cost)^10dt] (用华里士公式)
=64πa^3*(π/2)*[(7*3*5*1)/(8*6*4*2)-(9*7*5*3*1)/(10*8*6*4*2)]
=32π^2*a^3*7/256
=7π^2*a^3/8

追答

望采纳，谢谢~

追问

复制的吧这结果不对

追答

套的公式不对 还是几分计算不对

积分

追问

结果不对，应该是8πa∧3/3

公式感觉也不对

追答

看一下我写的这个对吗？

你在百度文库搜 极坐标系下绕极轴旋转一周旋转体积公式推导 有这个公式的推导和你这个例题

非常抱歉之前给了个错误的答案(>﹏<)

追问

这个极坐标体积公式怎么推出来的，，，我用直角坐标和参数方程推推不出来

追答

你在百度文库搜 极坐标系下绕极轴旋转一周旋转体积公式推导 有这个公式的推导和你这个例题