Question

一个高中数学奥林匹克不等式问题，跪求解答。

已知对任意的正数ai,bi,不等式总成立，求实数p的取值范围

Answer 1

假设n>1。

1、先估计p的范围：

取bi=1，得到x^p应该是凸函数，所以p>=1或p<=0；取bi=ai^(p-1)，得到x^(p-1)也应该是凸函数，于是p>=2或p<=1。两者相交，得到p>=2或p<=0或p=1。

2、排除p=1：

取b1=2，bi=1（当i>1），ai=bi^2。则左端是n+1，而右端是(n^2+3n)/(n+1)=n+1+(n-1)/(n+1)>左端。

3、证明p>=2或p<=0为所求：

此时，因为p-1非零，所以可以设bi=ci^(p-1)。于是，由权方和不等式，

sum ai^p/bi
= sum ai^p/ci^(p-1)
>= (sum ai)^p/(sum ci)^(p-1)

再由琴生不等式

(1/n) sum ci^(p-1) >= ((1/n) sum ci)^(p-1)
=> (sum ci)^(p-1) <= n^(p-2) sum ci^(p-1)

所以

sum ai^p/ci^(p-1)
>= (sum ai)^p/n^(p-2) sum ci^(p-1)
= (sum ai)^p/n^(p-2) sum bi

即证

Answer 2

p的范围应该是 p<=0或 p>1

因为等式对任意ai,bi,n成立，特别的，取 n=2,b1=b2=1, a1 = x,a2 =y，则不等式变为：
x^p + y^p ≥ (x+y)^p/2^(p-1)
即
(x^p+y^p)/2 ≥ [(x+y)/2]^p
这说明 f(x) = x^p 是一个下凸函数，
因此f(x)的二阶导数大于0，从而可知 p<0或p>1，另外 p=0的时候等式显然也成立。

追问

你答非所问了

追答

囧，什么叫答非所问。
你问的难道不是p的取值范围？
我回答的难道不是p的取值范围？

追问

你你来证明当p1时我所给的不等式恒成立，并证明当0<p<=1时此不等式不成立。

Answer 3

用无限放缩，就是a+b+c+。。。+n>=n*n次根号下(abcd...n)

追问

有没有具体步奏？

追答

。。。不好打。。。

Answer 4

k

追问

顶你个肺

追答

顶你个肺