Question

如图，直线y=kx+2与x轴、y轴分别交于点A、B，点C（1，a）是直线与双曲线y= m x 的一个交点，

如图，直线y=kx+2与x轴、y轴分别交于点A、B，点C（1，a）是直线与双曲线y= m x 的一个交点， 过点C作CD⊥y轴，垂足为D，且△BCD的面积为1．（1）求双曲线的解析式；（2）若在y轴上有一点E，使得以E、A、B为顶点的三角形与△BCD相似，求点E的坐标．

Answer 1

（1）∵CD=1，△BCD的面积为1， ∴BD=2 ∵直线y=kx+2与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴当x=0时，y=2， ∴点B坐标为（0，2）． ∴点D坐标为（O，4）， ∴a=4． ∴C（1，4） ∴所求的双曲线解析式为y= 4 x ． （2）因为直线y=kx+2过C点， 所以有4=k+2，k=2， 直线解析式为y=2x+2． ∴点A坐标为（-1，0），B（0，2）， ∴AB= 5 ，BC= 5 ， 当△BAE ∽ △BCD时，此时点E与点O重合，点E坐标为（O，0）； 当△BEA ∽ △BCD时， AB DB = BE BC ， ∴ 5 2 = BE 5 ， ∴BE= 5 2 ， ∴OE= 1 2 ， 此时点E坐标为（0，- 1 2 ）． 综上：当E为（0.0）或（0．- 1 2 ）时△EAB与△BCD相似．