
如图, AB 是⊙ O 的直径,弦 BC =2 cm ,∠ ABC =60 º . (1)求⊙ O 的直径;(2)若 D 是 AB
如图,AB是⊙O的直径,弦BC=2cm,∠ABC=60º.(1)求⊙O的直径;(2)若D是AB延长线上一点,连结CD,当BD长为多少时,CD与⊙O相切;(3)若...
如图, AB 是⊙ O 的直径,弦 BC =2 cm ,∠ ABC =60 º . (1)求⊙ O 的直径;(2)若 D 是 AB 延长线上一点,连结 CD ,当 BD 长为多少时, CD 与⊙ O 相切;(3)若动点 E 以2 cm / s 的速度从 A 点出发沿着 AB 方向运动,同时动点 F 以1 cm / s 的速度从 B 点出发沿 BC 方向运动,设运动时间为 ,连结 EF ,当 为何值时,△ BEF 为直角三角形.
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(1)4(2) |
(1)∵ AB 是⊙ O 的直径(已知)∴∠ ACB =90 º (直径所对的圆周角是直角) ∵∠ ABC =60 º (已知) ∴∠ BAC =180 º -∠ ACB -∠ ABC = 30 º (三角形的内角和等于180 º ) ∴ AB =2 BC =4 cm (直角三角形中,30 º 锐角所对的直角边等于斜边的一半)即⊙ O 的直径为4 cm . (2)如图10(1) CD 切⊙ O 于点 C ,连结 OC ,则 OC = OB =1/2· AB =2 cm . ∴ CD ⊥ CO (圆的切线垂直于经过切点的半径)∴∠ OCD =90 º (垂直的定义) ∵∠ BAC = 30 º (已求) ∴∠ COD =2∠ BAC = 60 º (在同圆或等圆中一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半) ∴∠ D =180 º -∠ COD -∠ OCD = 30 º (三角形的内角和等于180 º ) ∴ OD =2 OC =4 cm (直角三角形中,30 º 锐角所对的直角边等于斜边的一半) ∴ BD = OD - OB =4-2=2( cm ) ∴当 BD 长为2 cm , CD 与⊙ O 相切. (3)根据题意得: BE =(4-2 t ) cm , BF = tcm ; 如图10(2)当 EF ⊥ BC 时,△ BEF 为直角三角形,此时△ BEF ∽△ BAC ∴ BE : BA = BF : BC 即:(4-2 t ):4= t :2 解得: t =1 如图10(3)当 EF ⊥ BA 时,△ BEF 为直角三角形,此时△ BEF ∽△ BCA ∴ BE : BC = BF : BA 即:(4-2 t ):2= t :4 解得: t =1.6 ∴当 t =1 s 或 t =1.6 s 时,△ BEF 为直角三角形. (1)根据已知条件知:∠BAC=30°,已知AB的长,根据直角三角形中,30°锐角所对的直角边等于斜边的一半可得AB的长,即⊙O的直径; (2)根据切线的性质知:OC⊥CD,根据OC的长和∠COD的度数可将OD的长求出,进而可将BD的长求出; (3)应分两种情况进行讨论,当EF⊥BC时,△BEF为直角三角形,根据△BEF∽△BAC,可将时间t求出; 当EF⊥BA时,△BEF为直角三角形,根据△BEF∽△BCA,可将时间t求出. |
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