Question

如图， AB 是⊙ O 的直径，弦 BC =2 cm ，∠ ABC =60 º ． （1）求⊙ O 的直径；（2）若 D 是 AB

如图， AB 是⊙ O 的直径，弦 BC =2 cm ，∠ ABC =60 º ． （1）求⊙ O 的直径；（2）若 D 是 AB 延长线上一点，连结 CD ，当 BD 长为多少时， CD 与⊙ O 相切；（3）若动点 E 以2 cm / s 的速度从 A 点出发沿着 AB 方向运动，同时动点 F 以1 cm / s 的速度从 B 点出发沿 BC 方向运动，设运动时间为 ，连结 EF ，当 为何值时，△ BEF 为直角三角形．

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Answer 1

（1）4（2）

（1）∵ AB 是⊙ O 的直径（已知）∴∠ ACB ＝90 º （直径所对的圆周角是直角） ∵∠ ABC ＝60 º （已知） ∴∠ BAC ＝180 º －∠ ACB －∠ ABC ＝ 30 º （三角形的内角和等于180 º ） ∴ AB ＝2 BC ＝4 cm （直角三角形中，30 º 锐角所对的直角边等于斜边的一半）即⊙ O 的直径为4 cm ． （2）如图10（1） CD 切⊙ O 于点 C ，连结 OC ，则 OC ＝ OB ＝1/2· AB ＝2 cm ． ∴ CD ⊥ CO （圆的切线垂直于经过切点的半径）∴∠ OCD ＝90 º （垂直的定义） ∵∠ BAC ＝ 30 º （已求） ∴∠ COD ＝2∠ BAC ＝ 60 º （在同圆或等圆中一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半） ∴∠ D ＝180 º －∠ COD －∠ OCD ＝ 30 º （三角形的内角和等于180 º ） ∴ OD ＝2 OC ＝4 cm （直角三角形中，30 º 锐角所对的直角边等于斜边的一半） ∴ BD ＝ OD － OB ＝4－2＝2（ cm ） ∴当 BD 长为2 cm ， CD 与⊙ O 相切． （3）根据题意得： BE ＝（4－2 t ） cm ， BF ＝ tcm ； 如图10（2）当 EF ⊥ BC 时，△ BEF 为直角三角形，此时△ BEF ∽△ BAC   ∴ BE ： BA ＝ BF ： BC 即：（4－2 t ）：4＝ t ：2 解得： t ＝1 如图10（3）当 EF ⊥ BA 时，△ BEF 为直角三角形，此时△ BEF ∽△ BCA   ∴ BE ： BC ＝ BF ： BA 即：（4－2 t ）：2＝ t ：4  解得： t ＝1.6  ∴当 t ＝1 s 或 t ＝1.6 s 时，△ BEF 为直角三角形． （1）根据已知条件知：∠BAC=30°，已知AB的长，根据直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半可得AB的长，即⊙O的直径； （2）根据切线的性质知：OC⊥CD，根据OC的长和∠COD的度数可将OD的长求出，进而可将BD的长求出； （3）应分两种情况进行讨论，当EF⊥BC时，△BEF为直角三角形，根据△BEF∽△BAC，可将时间t求出； 当EF⊥BA时，△BEF为直角三角形，根据△BEF∽△BCA，可将时间t求出．