Question

如图，D是等边△ABC的边AB上的一个动点（D与A、B不重合），以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE．（1）说

如图，D是等边△ABC的边AB上的一个动点（D与A、B不重合），以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE．（1）说明四边形ABCE是梯形；（2）当D在AB边上的什么位置时，四边形ABCE是直角梯形（直接写出结论）；（3）在（2）的条件下，当AB=4时，求梯形的面积．

Answer 1

（1）∵△ABC与△DEC都为等边三角形，
∴AB=BC=AC，DE=EC=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠DCE-∠ACD=∠ACB-∠ACD，即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，

AC＝BC ∠ACE＝∠BCD CE＝CD

，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAE=∠B=60°，
∴AE∥BC，又AB与EC不平行，
∴四边形ABCE为梯形；
（2）当CD⊥AB时，四边形ABCE是直角梯形，理由为：
∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠AEC=90°，
∴四边形ABCE为直角梯形；
（3）在（2）条件下，四边形ABCE为直角梯形，
∴∠BCE=90°，又∠ACB=60°，
∴∠ACE=30°，
在Rt△ACE中，AC=AB=BC=4，∠ACE=30°，
∴AE=

1

2

AC=2，EC=

AC2?AE2

=2

3

，
则S_梯形ABCE=

1

2

（AE+BC）?EC=

1

2

×（2+4）×2

3

=6

3

．