Question

设双曲线C：x2a2-y2=1（a＞0）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．（Ⅰ）求双曲线C的离心率e的取值范

设双曲线C：x2a2-y2=1（a＞0）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B．（Ⅰ）求双曲线C的离心率e的取值范围：（Ⅱ）设直线l与y轴的交点为P，且PA=512PB．求a的值．

Answer 1

（I）由C与l相交于两个不同的点，故知方程组

x2 a2 -y2=1 x+y=1.

有两个不同的实数解．消去y并整理得
（1-a²）x²+2a²x-2a²=0．①
所以

1-a2≠0. 4a4+8a2(1-a2)＞0.

解得0＜a＜

2

且a≠1．
双曲线的离心率
e=

1+a2

a

=

1 a2 +1

．
∵0＜a＜

2

且a≠1，
∴e＞

6

2