Question

定义域为R的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），且当x∈（0，1）时，f(x)＝2x?12x+1．（Ⅰ）求f（x）在[

定义域为R的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），且当x∈（0，1）时，f(x)＝2x?12x+1．（Ⅰ）求f（x）在[-1，1]上的解析式；（Ⅱ）若存在x∈（0，1），满足f（x）＞m，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），由f（x）为R上的奇函数，
得f(?x)＝?f(x)＝

2?x?1

2?x+1

＝

1?2x

2x+1

，
∴f(x)＝

2x?1

2x+1

(x∈(?1，0))
又由奇函数得f（0）=0．
∵f（x+1）=f（x-1），
∴当x=0时，f（1）=f（-1）
又∵f（-1）=-f（1），
∴f（-1）=0，f（1）=0
∴f(x)＝

2x?1 2x+1 x∈(?1，1) 0 x＝±1

．
（Ⅱ）∵x∈（0，1）f(x)＝

2x?1

2x+1

＝

2x+1?2

2x+1

＝1?

2

2x+1

，
∴2^x∈（1，2），∴1?

2

2x+1

∈(0，

1

3

)．
若存在x∈（0，1），满足f（x）＞m，
则m＜

1

3

实数m的取值范 围为(?∞，

1

3

)．