Question

椭圆x2m2+y2＝1（m＞1）与双曲线x2n2?y2＝1（n＞0）有公共焦点F1，F2．P是两曲线的交点，则S△F1PF2=（　

椭圆x2m2+y2＝1（m＞1）与双曲线x2n2?y2＝1（n＞0）有公共焦点F1，F2．P是两曲线的交点，则S△F1PF2=（　　）A．4B．2C．1D．12

Answer 1

由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2m，双曲线的实轴长为2n，
由它们有相同的焦点，得到m²-1=n²+1，即m²-n²=2．
不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF₁|-|PF₂|=2n，①
由椭圆的定义|PF₁|+|PF₂|=2m，②
①²+②²得|PF₁|²+|PF₂|²=2n²+2m²，
∴|PF₁|?|PF₂|=m²-n²=2，
∴cos∠F₁PF₂|=

2n2+2m2?4(m2?1)

2×2

=0，
∴△F₁PF₂的形状是直角三角形
△PF₁F₂的面积为

1

2

?PF₁?PF₂=

1

2

×2=1．
故选C．