Question

已知f（x）=ax2+bx+c，（0＜2a＜b），?x∈R，f（x）≥0恒成立，则f(1)f(0)?f(?1)的最小值为______

已知f（x）=ax2+bx+c，（0＜2a＜b），?x∈R，f（x）≥0恒成立，则f(1)f(0)?f(?1)的最小值为______．

Answer 1

因为?x∈R，f（x）=ax²+bx+c≥0恒成立，0＜2a＜b，
所以

0＜2a＜b △＝b2?4ac≤0

，得b²≤4ac，
又0＜2a＜b，所以c≥

b2

4a

，
所以

f(1)

f(0)?f(?1)

＝

a+b+c

c?(a?b+c)

=

a+b+c

b?a

≥

a+b+ b2 4a

b?a

=

4a2+4ab+b2

4a(b?a)

=

4a2+4ab+b2

4ab?4a2

=

4+4? b a +( b a )2

4? b a ?4

，
设t=

b

a

，由0＜2a＜b得，t＞2，
则

f(1)

f(0)?f(?1)

≥

4+4t+t2

4(t?1)

=

(t?1)2+6(t?1)+9

4(t?1)

=

1

4

[（t-1）+

9

t?1

+6]≥

1

4

×(6+6)=3，
当且仅当t?1＝

9

t?1

时取等号，此时t=4，

f(1)

f(0)?f(?1)

取最小值是3，
故答案为：3．