Question

求解，圈圈的 题目，利用函数的凹凸性，证明不等式

Answer 1

(1)构造指数函数f(t)=e^t，
则f'(t)=e^t>0，f''(t)=e^t>0.
故f(t)为下凸函数，
依Jensen不等式得
[f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2]
(x≠y时为严格不等式)
∴(e^x+e^y)/2>e^[(x+y)/2].

(2)构造函数f(t)=tlnt (t>0)，
则f'(t)=lnt+1，f''(t)=1/t>0，
故f(t)为下凸函数，
故依Jensen不等式得
[f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2]
(x≠y时，为严格不等式)
∴xlnx+ylny>2·[(x+y)/2]ln[(x+y)/2]
即xlnx+ylny>(x+y)ln[(x+y)/2].

(3)构造幂函数f(t)=t^n，
则f'(t)=nt^(n-1)，
f''(t)=n(n-1)t^(n-2)>0，
故f(t)为下凸函数，
依Jensen不等式得
[f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2]
∴(x^n+y^n)/2>[(x+y)/2]^n。

Answer 2

第一张图的答案。

第二张图的答案。

Answer 3

图在那里。

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